\chapter{Konvergens}

I dette kapitel vil net og filtre blive introduceret sammen deres egenskaber. Dette vil blive fulgt op med et par eksempler samt nogle sætninger der beskriver sammenhæng mellem forskellige egenskaber ved filtre og net i topologiske rum. Disse sætninger vil også være en stor hjælp i resten af opgaven. 

Den sidste sektion i dette kapitel vil være en sammenligning af net og filtre med fokus på de egenskaber der, for denne opgave, viser sig vigtige. 

\section{Net}

Net er det første redskab vi vil introducere. Det er det redskab man fokuserer på i både \cite{Kelley}, \cite{Pedersen} samt \cite{Reed}. Lad i det følgende $(X, \tau)$ være et topologisk rum. Bemærk at mens det giver mening at definere et net i et ikke-topologisk rum, kan vi først snakke om konvergens når vi har en topologi på det.

\begin{defn}[Net]
  Et par ($\Lambda$, $i$) siges at være et net, hvis
  \begin{itemize}
  \item $\Lambda$ er en opadfiltrerert partielt ordnet mængde. Det at udstyre $\Lambda$ med denne ordning kaldes også at give $\Lambda$ en \textbf{retning}.
  \item $i$ er en afbilding, $\morf[\rightarrow]{i}{\Lambda}{X}$.
  \end{itemize}
  
  Et net siges \textbf{hyppigt} at være i en delmængde $A \subseteq X$ hvis der for ethvert $\lambda \in \Lambda$ eksisterer et $\mu \in \Lambda$ så $\mu \geq \lambda$ og $x_\mu \in A$. Nettet siges at være i en delmængde $A \subseteq X$ \textbf{fra et sted}, hvis der findes et $\lambda \in \Lambda$ så for $\mu \geq \lambda$ vil $x_\mu \in A$. 
  
  Nettet siges nu at \textbf{konvergere mod $x$}, hvis for det fra et sted er i en enhver omegn af x. Hvis nettet hyppigt er i enhver omegn af $x$ er siges det at være et \textbf{fortætningspunkt}.
\end{defn}
\begin{rem}
Nettet skrives ofte $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$, hvor afbildingen $i$ er implicit defineret ved $i(\lambda) = x_\lambda$. Det er værd at bemærke, at hvis et net har indeksmængden $\N$ vil nettet være en talfølge, så denne skrivemåde virker både mere bekendt og er med til at understrege det nære forhold mellem talfølger og net.
\end{rem}

%\begin{ex}
%  Lad $X = [0,\infty)$ og lad $\Lambda = 2^X$. Da kan vi med $\Lambda$ ordningen omvendt inklusion give $\Lambda$ en retning og så vil vi med afbildingen $\morf{i}{2^X}{X}$ defineret ved $i(A) = \inf\{x \mid x \in A\}$ have defineret et net $(\Lambda, i)$ der klart ikke er en følge. 
%\end{ex}

\begin{ex}
  Lad $X$ være et rum med følgende ordning: For vilkårlige $a,b \in X$ lad så $a \leq b$. Da bliver $(X, id)$, hvor $id$ er identitetsafbildingen, et net. Bemærk at ethvert punkt i $X$ er et fortætningspunkt mens intet punkt er et konvergenspunkt. Det er klart at man ikke kan beskrive dette net ved en følge, da indeksmængden på ingen måde er lineært ordnet. 
\end{ex}

\begin{defn}[Delnet]
  Et delnet af et net, $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ er et par $(M,j)$, så M er en opad filtreret ordnet mængde M og $j = i \circ h$, hvor $h$ er en afbilding $\morf[\rightarrow]{h}{M}{\Lambda}$, så der gælder: 
\begin{itemize}
\item For hvert $\lambda \in \Lambda$ skal der findes et $\mu_0 \in M$ så $\mu \geq \mu_0 \Rightarrow h(\mu) \geq \lambda$.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{lem}\label{lem:hjlem}
  Lad $\sB \subset 2^X$ være en familie af ikke tomme delmængder der er opad filtreret under ordningen omvendt inklusion og $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ et net, der hyppigt er i enhver mængde i $\sB$. Da findes et delnet der fra et sted er i enhver mængde i $\sB$. 
\end{lem}

\begin{proof}
Vi ser på parret $(M,h)$, hvor M er en mængde og h en afbilding $\morf[\rightarrow]{h}{M}{X}$ defineret ved 

\begin{align*}
 M &= {(\lambda, B) \in \Lambda \times \sB \mid x_\lambda \in B}  \\
 h(\lambda, B) &= x_\lambda 
\end{align*}
Vi skal nu vise at $(M,h)$ er et delnet af $(\Lambda, i)$ samt at det fra et sted ligger i enhver mængde i $\sB$: 

M er opad filtreret under produktordningen, da for $(A,\lambda)$ og $(B,\mu)$ vil der være et $C \subset A \cap B$, da $\sB$ var opad filtreret. Pr. hyppighed af nettet vil der findes et $\eta \in \Lambda$ så $\eta \geq \lambda, \mu$ og $x_{\eta} \in C$. Dermed vil $(C, \eta)$ ligge i $M$ og være en majorant for $(A, \lambda)$ og $(B,\mu)$. 

Lad nu $\lambda \in \Lambda$, da vil der findes et $B \in \sB$ så $x_\lambda \in B$. Da ser vi at for ethvert $(C, \mu) \geq (B, x_\lambda)$ vil $h(C, \mu) = \mu \geq \lambda$. Så da vi nu har slået fast at $(M,h)$ er et delnet af $(\Lambda, i)$ mangler vi bare at nettet fra et sted ligger i enhver mængde i $\sB$. Men det ses nemt, da for $B \in \sB$ vil der, igen pr. hyppighed af det oprindelige net, findes et $\lambda$ så for ethvert $(C, \mu) \geq (B, \lambda)$ vil $x_\mu \in B$. 
\end{proof}

\begin{cor}
Et punkt $x \in X$ er et fortætningspunkt for et net $N = (\Lambda, i)$ hvis og kun hvis $N$ har et delnet der konvergerer mod $x$. 
\end{cor}

\begin{proof}
  Hvis $N$ er et net med $x$ som fortætningspunkt kan vi bruge lemma \ref{lem:hjlem} med $\OO(x)$ som $\sB$ og får et delnet der konvergerer mod $x$. 

Omvendt lad $N = (\Lambda, i)$ være et net med et delnet $N_s = (\Delta, i \circ h)$ der konvergerer mod $x$. Lad $\lambda \in \Lambda$ og $A \in \OO(x)$, da ved vi at $N_s$ fra et sted, $\gamma$, ligger i $A$ og nu kan vi, pr. definition af delnet, finde et $\eta \in \Delta$ så $i \circ h (\eta) \in A$ og $h (\eta) \geq \lambda$. 
\end{proof}

\begin{defn}[Universelt net]
  Et net $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ siges at være universelt hvis det for enhver mængde $A \subseteq X$ enten fra et sted er i $A$ eller $X \backslash A$. 
\end{defn}

\begin{defn}[Billedet af et net]
  Lad $N = (\Lambda, i)$ være et net i et rum $X$ og $\morf{f}{X}{Y}$ en funktion. Da defineres billedet af nettet til $f(N) = (\Lambda, f \circ i)$. 
\end{defn}

\begin{lem}
  Hvis $\morf{f}{X}{Y}$ er en funktion mellem to topologiske rum. Da vil et net $(\Lambda, $ \fixme{SKAL DET MED??!?!?!}
\end{lem}

Der gælder at ethvert net har et universelt delnet, men beviset kræver at vi kan arbejde med filtre. Det vil derfor først blive vist efter vi har introduceret filtre i næste sektion. 

\section{Filtre}

Filtre er, ligesom net, indført for at kunne generalisere de sætninger der bruger følgekonvergens til mere generelle topologiske rum. Men modsat net har de ikke umiddelbart meget til fælles med følger. Denne gennemgang af filtre er baseret på \cite{Christenson} og \cite{Murdeshwar}. 


%I \cite{Murdeshwar} finder man en meget grundig gennemgang af filtre men også \cite{Christenson} har en udemærket sektion med. I \cite{Reed} bruges filtre i et appendiks til at bevise Tychonoffs sætning mens \cite{Pedersen} nøjes med at bruge filtre i et bevis og i opgaver. 

\begin{defn}[Filter]
Et filter $\sF$ i X er en familie af delmængder i X så der gælder:
\begin{itemize}
\item $\emptyset \notin \sF$
\item $A,B \in \sF \, \Rightarrow \, A \cap B \in \sF$
\item $A \in \sF$ og $A \subset B$ medfører at $B \in \sF$
\end{itemize}
Et filter siges at være i en mængde $A \subseteq X$ \textbf{fra et sted}, hvis $A \in \sF$, og et filter siges at \textbf{konvergere} mod et punkt $x \in X$ hvis filtret for en vilkårlig omegn fra et sted ligger i omegnen. Et punkt $x \in X$ siges at være et \textbf{fortætningspunkt} for et filter hvis det for hvert $x \in A \in \sF$ for hvert $A$. \fixme{Elendigt formuleret}
\end{defn}

\begin{ex}
Et eksempel på et filter er omegnsfiltret, $\OO(x)$, altså familien af omegne af et punkt i et topologisk rum. Det er let at se det opfylder kravene for et filter og at filtret konvergerer mod $x$. \fixme{Skal jeg uddybe dette eksempel??}
\end{ex}

\begin{defn}[En forfinelse af et filter]
  Et filter $\sG$ siges at være en forfinelse af et filter $\sF$ hvis $\sG \supseteq \sF$. Man siger også at $\sF$ er indeholdt i $\sG$ eller $\sF \subseteq \sG$.
\end{defn}

\begin{defn}[Filterbasis]
  Vi siger en familie af delmængder af $X$ kaldes en \textbf{filtersubbasis} hvis den har endeligt snit egenskaben. Hvis familien er lukket under endelige snit kaldes det en \textbf{filterbasis}. De genererede filtre består af de mængder der indeholder henholdsvis et endeligt snit af elementer i subbasen eller et element i basen. 
\end{defn}

%Filtre og net er tæt beslægtede. I næste kapitel vil vi se hvordan net kan bruges til at karakterisere den aflukkede af en mængde, kontinuitet af funktioner samt kompakthed. Lignende karakteriseringer kan laves med filtre, så man kunne spørge sig selv om hvorvidt det er mest fordelagtigt at arbejde med filter- eller netkarakterisering, men jeg vil vise sidst i dette kapitel at en sådan diskussion er overflødig. 

Den følgende alternative karakterisering af aflukningen af en mængde er til stor hjælp bevisteknis i flere sætninger. 

\begin{lem} \label{lem:altaflukning}
  Lad $A \subseteq X$. Da vil $x \in \overline{A}$ hvis og kun hvis $\forall U \in \OO(x)$ vil $A \cap U \neq \emptyset$. 
\end{lem}
\begin{proof}
  Det ses klart ved at overbevise sig om at $F = \{x \in X \mid \forall U \in \OO(x) \cap A \neq \emptyset\}$ er den mindste lukkede mængde der indeholder $A$.
\end{proof}

\begin{thm}
  For et filter $\sF$ er $x \in X$ et fortætningspunkt hvis og kun hvis $\sF$ er indeholdt i et finere filter der konvergerer mod $x$. \label{thm:fortfinfil}
\end{thm}
\begin{proof}
  Lad først $x$ være et fortætningspunkt for et filter $\sF$. Lemma \ref{lem:altaflukning} medfører at $\sF \cup \OO(x)$ får endeligt snit egenskaben og dermed bliver en filtersubbase. Det er klart at $\OO(x)$ vil være indeholdt i det genererede filter, og dermed vil det konvergere mod $x$.

  Omvendt, hvis $\sG \supseteq \sF$ og $\sG$ konvergerer mod $x$ så vil $\OO(x) \subseteq \sG$ og det betyder at for vilkårlige $F \in \sF \subseteq \sG$ og $A \in \OO(x) \subseteq \sG$ vil $F \cap A \neq \emptyset$. 
\end{proof}

\begin{rem}
  Hvis $x$ er et konvergenspunkt for et filter $\sF$ vil $\OO(x) \subseteq \sF$ og dermed vil for hver $F \in \sF$ og $U \in \OO(x)$, $F \cap U \neq \emptyset$. Det giver at $x \in \overline{F}$, så dermed følger filtre på dette punkt også net ved at ethvert konvergenspunkt også vil være et fortætningspunkt. 
\end{rem}

\begin{defn}[Ultrafilter]
  Et filter siges at være et ultrafilter hvis ikke det er skarpt indeholdt i noget andet filter. 
\end{defn}

\begin{thm}
  Et filter $\sF$ er et ultrafilter hvis og kun hvis for hver $A \subseteq X$ enten $A$ eller $X \setminus A $ ligger i $\sF$. 
\end{thm}

\begin{proof}
  Lad $\sF$ være et ultrafilter. Antag først at $A \notin \sF$. Hvis nu $A \cap F \neq \emptyset$ for hvert $F \in \sF$ så vil $\{B \subseteq X \mid \exists F \in \sF \cup \{A\} : B \supseteq F\}$ være en filtersubbasis for et filter der er finere end $\sF$. Men det giver en modstrid da vi havde antaget at $\sF$ var et ultrafilter. Omvendt, hvis $\exists F \in \sF$ så $A \cap F = \emptyset$ har vi at $X \setminus A \supseteq F \in \sF$ og dermed at $X \setminus A \in \sF$. 

  Lad omvendt $\sF$ være et filter så for $A \subseteq X$ vil enten $A$ eller $X \setminus A$ ligge i $\sF$. Antag at $\sG$ er et finere filter end $\sF$, dvs. der eksisterer et $A \in \sG$ så $A \notin \sF$. Men det betyder at $X \setminus A \in \sF \subseteq \sG$ hvilket giver en modstrid da ikke både en mængde og dens komplement kan ligge i $\sG$.
\end{proof}

\begin{thm}
  Ethvert filter er indeholdt i et ultrafilter. \label{thm:ultrafilter}
\end{thm}

\begin{proof}
  Denne sætning bygger fundamentalt på Udvalgsaksiomet, her i form af Haussdorffs maksimalitets sætning, sætning 1.32 i \cite{Thomsen}. Lad $\sF$ være et filter i $X$ og $\sP = \left\lbrace\sG \mid \sG\text{ er et mere finmasket filter end }\sF \right\rbrace$. Da vil $\sP$ være partielt ordnet med inklusionsordningen, da $\sP$ med denne ordning klart bliver transitiv, refleksiv og at for $\sG, \sH \in \sP$ hvor $\sG \subseteq \sH$ og $\sH \subseteq \sG$ får vi at $\sG = \sH$. Da giver Hausdorffs maksimalitetssætning at $\sP$ indeholder $\sP$ en delmængde $\Delta \subseteq \sP$ der maksimal i forhold til at være totaltordnet med inklusionsordningen. Konstruer nu 
\[ 
 \sU = \bigcup_{\sG \in \Delta}\sG
\]

Hvis $\sG$ er et filter så $\sG \supseteq \sU$ ville det ligge i $\Delta$ og dermed være indeholdt i $\sU$. Det gør $\sU$ til et ultrafilter finere end $\sF$. 
% med inklusionsordningen. Hvis $\sB \subset \sP$ er en totalordnet delmængde af $\sP$, dvs. en familie af filtre i $X$, hvor for $\mathscr{H}, \sG \in \sP$ vil $\mathscr{H} \leq \sG \vee \sG \leq \mathscr{H}$. Da vil $\cup_{\sG \in \sB} \sG$ være en øvre grænse for $\sB$, så nu giver Zorns lemma at $\sP$ indeholder et maksimalt element - det søgte ultrafilter.  
\end{proof}

\begin{cor}
  For et universelt filter vil ethvert fortætningspunkt også være et konvergenspunkt. \label{cor:fortkonvfil}
\end{cor}
\begin{proof}
  Lad $\sU$ være et ultrafilter og $x \in X$ et fortætningspunkt. Da giver sætning \ref{thm:fortfinfil} at der findes et finere filter, $\sG$, der konvergerer mod $x$, men da vil $\sG = \sU$ da $\sU$ var et ultrafilter.
\end{proof}
\begin{defn}
  Billedet af et filter $\sF$ under en funktion $\morf{f}{X}{Y}$ skrives $\{f(F) \mid F\in \sF\}$. Bemærk at det ikke nødvendigvis er et filter, men at det derimod vil være en filterbasis for et filter i $Y$. Dette filter defineres, med lidt misbrug af notation, til at være $f(\sF)$. 
\end{defn}
\begin{rem}
  Bemærk at hvis et filter $\sF$ er genereret af en filterbasis $\{F_\lambda \mid \lambda\in \Lambda\}$ og $F \in f(\sF)$ da findes der et $A \in \sF$ så $f(A) \in f(\sF)$ men ligeledes vil der findes et $F_\mu$ i filterbasen så $f(F_\mu) \subseteq f(A) \subseteq F$. Det vil sige at vi kan nøjes med at tage billedet af en filterbasis for at generere $f(\sF)$. 
\end{rem}

\begin{lem}
  Hvis $\morf{f}{X}{Y}$ er en funktion mellem to topologiske rum. \label{lem:funultfil}
  \begin{enumerate}[i)]
  \item Da vil et filter $\sF$ være et ultrafilter hvis og kun hvis $f(\sF)$ er et ultrafilter. 
  \item Ligeledes vil et net $(\Lambda, i)$ være et universelt net hvis og kun hvis $(\Lambda, f\circ i)$ er et universelt net. 
  \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
\textit{i):} Lad først $\sF$ være et ultrafilter og $A \subseteq Y$. Da kan vi uden begrænsning antage at $f^{-1}(A) \in \sF$. Men da vil $f(f^{-1}(A)) \subseteq A$, så $A$ kommer til at ligge i $f(\sF)$. 
  Hvis omvendt $f(\sF)$ er et ultrafilter og $A \subseteq X$. Nu kan vi ligeledes antage at $f(A) \in f(\sF)$, dvs. der findes et $B \in \sF$ så $B\subseteq A$ og så får vi at $A \in \sF$. 
\textit{ii):} På præcist samme måde som ved \textit{i)} kan man vise det for net. 
\end{proof}

\section{Net og Filtre}
Mens net er indført som en generalisering af følger, så virker filtre umiddelbart mere abstrakte og meget anderledes end følger. Vi vil i det følgende vise at sætninger der anvender konvergens af net kan udskiftes til lignende sætninger der bruger konvergens af filtre. Det gør vi ved, med konstruktioner, at give muligheden for direkte at skifte rundt. 

Jeg har valgt en konstruktion af associationen mellem filtre og net fra \cite{Christenson}. Korrelationen mellem delnet og forfinelsen af filtre stammer delvist også fra \cite{Christenson} og delvist fra \cite{Lynn}. 

\begin{defn}[Det tilhørende filter]\label{defn:konsfiltre}
  Lad $N = (\Lambda, i)$ være et net. Lad nu $\phi(N)$ betegne følgende familie af delmængder i $X$:
\[\phi(N) = \left\{\{i(\mu) \mid \mu \geq \lambda \} \mid \lambda \in \Lambda\right\}\]

Da kaldes filtret genereret af filterbasen $\phi(N)$ det tilhørende filter eller $\Phi(N)$
\end{defn}

\begin{rem}
  Ovenstående familie af delmængder opfylder kravene til et filter thi hvis $A, B \in \Phi(N)$ vil der findes et $\mu , \eta \in \Lambda \ : \ A \supseteq \{i(\lambda) \mid \lambda \geq \mu\} \text{ og } B \supseteq \{i(\lambda) \mid \lambda \geq \eta\}$. Men det gør at vi med en majorant af $\lambda_0 \geq \mu, \eta$ også får en mængde der ligger inde i $\{i(\lambda) \mid \lambda \geq \lambda_0 \} \subseteq A \cap B$ og dermed vil $A \cap B \in \Phi(N)$.
\end{rem}

\begin{defn}[Det tilhørende net]\label{defn:konsnet}
  Lad $\{F_\mu \mid \mu \in \Delta\}$ være en filterbasis for et filter $\sF$. Konstruer nu parret $(\Delta, i)$ hvor $i$ er en afbilding $\morf{i}{\Delta}{X}$ på en måde så for $\mu \in \Delta$ vil $i(\mu) \in F_\mu$. Giv dernæst $\Delta$ følgende ordning: For $\alpha, \beta \in \Delta$ vil $\alpha \geq \beta$ hvis og kun hvis $F_\alpha \subseteq F_\beta$. Så kaldes $(\Delta, i)$ det tilhørende net eller $\Psi_\Delta(\sF)$.
\end{defn}

\begin{rem}
  Denne konstruktion lægger op til at man skal kunne gå frem og tilbage mellem net og stadig bibeholde det samme net. Man kan altid vælge $\sF$ som indeksmængde for en filterbase og dermed få en indeksering. 

  Vi har desuden at $\Delta$ får en retning med denne ordning: For vilkårlige $\lambda, \mu \in \Delta$ vil vi kunne finde et $\eta$ så $F_\eta \subseteq F_\lambda \cap F_\mu \in \sF$ og dermed har vi med $\eta$ fundet en majorant. Eftersom enhver mængde i et filter skal være forskellig fra den tomme mængde kan man altid vælge en afbilding så ovenstående krav er opfyldt - for eksempel kan man bruge udvalgsafbildingen fra udvalgsaksiomet \cite[1.1.3]{Pedersen}.
\end{rem}

\begin{thm}[Sammenhæng mellem konvergens af Net og Filtre]
  Lad $(X,\tau)$ være et topologisk rum. \label{thm:netfiltre}
\begin{enumerate}[a)]
\item Lad $N = (\Lambda, i)$ være et net og brug konstruktionen fra \ref{defn:konsfiltre}. Da vil $N$ konvergere mod et $x \in X$ hvis og kun hvis $\Phi(N)$ konvergerer mod $x$. 
\item Lad $\sF = \{F_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$ være et filter i $X$ og brug konstruktionen fra \ref{defn:konsnet}. Da vil $\sF$ konvergere mod $x \in X$ hvis og kun hvis nettet $\Psi_\Delta(\sF)$ konvergerer mod $x$.
 \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  \textit{a):} 
   Hvis $N = (\Lambda, i)$ fra et sted er i $A \subseteq X$ betyder det at der findes et $\mu \in \Lambda$ så $A \supseteq \{ i(\lambda) \mid \lambda \geq \mu\} \in \Phi(N)$ og dermed kommer $A$ til at ligge i $\Phi(N)$. Det giver at et konvergenspunkt for $N$ også bliver et konvergenspunkt for $\Phi(N)$. Omvendt, hvis $A \in \Phi(N)$ vil der findes et $\mu \in \Lambda$ så $A \supseteq \{x_\mu | \mu \geq \lambda \}$ og dermed vil $N$ fra et sted være i $A$. Dermed vil et konvergenspunkt for filtret også give anledning til et konvergenspunkt for nettet.
 %\textit{a):} $\sF$ er et filter: Hvis $A, B \in \sF$ vil der findes $\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda$ så $A \supseteq \{x_\mu | \mu \geq \lambda_1 \}$ og $B \supseteq \{x_\mu | \mu \geq \lambda_2 \}$. Men da kan vi finde et $\lambda \in \Lambda$ så $\lambda \geq \lambda_i \, , \, i = 1, 2$ og da $A \cap B \supseteq \{x_\mu | \mu \geq \lambda \}$ har vi nu at $A \cap B \in \sF$. At $A \in \sF$ og $B \supseteq A$ medfører at $B \in \sF$ ses helt klart, så nu har vi at $\sF$ er et filter.

  \textit{b):} Lad nu $\sF = \{F_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$ konvergere mod et $x \in X$. Det betyder at for $A \in \OO(x)$ vil $A$ ligger i $\sF$. Så der vil findes et $\mu \in \Lambda$ så $i(\mu) \in A$ og den valgte ordning gør at for $\lambda \geq \mu$ vil $i(\lambda) \in A$, dvs. vi har fundet et sted hvorfra nettet er i $A$. Omvendt hvis $\Psi_\Lambda(\sF)$ konvergerer mod $x \in X$ skal der for hvert $A \in \OO(x)$ findes et $\mu \in \Lambda$ så for $\lambda \geq \mu$ vil $i(\lambda) \in A$. Konstruktionen af nettet giver nu at $F_\lambda \subseteq A$, så nu har vi at $A \in \sF$.
\end{proof}

\begin{rem}
  I vores konstruktioner af filtre ud fra net og omvendt har vi truffet nogle valg der medfører nogle æstetiske fejl. Hvis vi for eksempel starter med et filter $\sF = \{F_\delta \mid \delta \in \Delta\}$ og danner nettet $\Psi_\Delta(\sF) = (\Delta, i)$ så har vi en stor valgfrihed i hvilken afbilding, $\morf{i}{\Delta}{X}$ vi vælger. Betydningen af dette valg kommer frem, når vi forsøger at gå tilbage til et filter. 

\[
   \phi(\Psi_\Delta(\sF)) = \{\{i(\mu) \mid \mu \geq \lambda \} \mid \lambda \in \Delta \}
\]

Så har vi uanset valget af $i$ at $\{i(\mu)\mid \mu \geq \lambda\} \subseteq F_\lambda$ for hvert $\lambda \in \Delta$, så vi får at $\sF \subseteq \Phi(\Psi_\Delta(\sF))$. Desværre vil den anden vej ikke altid gælde. For eksempel kan vi for $\sF = \OO(x)$ vælge afbildingen der sender alt over i $x$, hvilket gør at $\Phi(\Psi_\Delta(\sF))$ bliver filtret genereret af $\{x\}$. 

Hvis vi omvendt starter med et net $N = (\Lambda, i)$ er det intet problem at gå frem og tilbage. Vi kan nemlig indeksere filterbasen, $\phi(N)$ med $\Lambda$ og hvis vi for nettet i konstruktionen $\Psi_\Lambda(\Phi(N))$ bruger afbildingen $i$ får vi det oprindelige net. 

Grunden til denne æstetiske forskel mellem net og filtre ligger i, at der er mange flere net end der er filtre. Det understreges af at i vores konstruktioner vil der til hvert net høre præcist et filter, mens man kan få mange forskellige net ud fra et filter. Det er muligt at vælge andre konstruktioner men ingen af dem jeg har set i litteraturen har været enkelte skønhedsfejl. 
\end{rem}

\begin{cor}\label{cor:uninetultfil}
  \begin{enumerate}[i)]
  \item Hvis $\sU$ er et ultrafilter vil $\Psi_\sU(\sU)$ være et universelt net. 
  \item Hvis $N_U = (\Lambda, i)$ er et universelt net vil $\Phi(N_U)$ være et ultrafilter.
  \end{enumerate}
\end{cor}
\begin{proof}
  Lad $\sU$ være et ultrafilter konstruer $\Psi_\sU(\sU)$. Hvis $A \subseteq X$ kan vi uden at begrænse noget antage at $A \in \sU$. Nu siger sætning \ref{thm:netfiltre} at $\Psi_\sU(\sU)$ fra et sted ligger i $A$ og dermed bliver et universelt net. 

  På samme måde så får vi at hvis $N_U$ er et universelt net konstruere $\Phi(N_U)$ og, hvis vi ligeledes for $A \subseteq X$ antager $N_U$ fra et sted ligger i $A$ giver sætning \ref{thm:netfiltre} at $A \in \Phi(N_U)$ og vi har dermed at $\Phi(N_U)$ bliver et ultrafilter.
\end{proof}


\begin{thm}[Korrelationen mellem delnet og forfinelser af filtre]
 \begin{enumerate}[a)]
 \item Lad $N = (\Lambda, i)$ være et net med et delnet $N_D = (M, j)$, hvor $j = i \circ h$ og $\morf{h}{M}{\Lambda}$. Hvis $\sF = \Phi (N)$ og $\sF_D = \Phi (N_D)$, da vil $\sF$ være indeholdt i $\sF_D$. 
 \item Lad $\sF$ være et filter og $\sU \supseteq \sF$ en forfinelse af $\sF$ der er et ultrafilter. Da kan vi ved hjælp af $\sU$ konstruere et universelt net, $N_U$, der er et delnet af $\Psi(\sF)$. 
 \end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
  \textit{a):} Lad først $A \in \sF$, det betyder der findes et $\lambda \in \Lambda$ så $A \supseteq \{i(\mu) \mid \mu \geq \lambda\}$. Nu giver vores definition af et delfilter at der skal findes et $\mu_0 \in M$ så for $h(\mu) \geq \lambda$ for $\mu \geq \mu_0$. Men det betyder jo at $A \supseteq \{j(\mu) \mid \mu \geq \mu_0\}$, dvs. at $A \in \sF_D$. 

  \textit{b):} Lad $\sF = \{F_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$. være et filter. Definer nu $N = \Psi_\Lambda(\sF)$. Nu kan vi ved hjælp af sætning \ref{thm:ultrafilter} finde et ultrafilter $\sU$, så $\sU \supseteq \sF$. Definer nu nettet $N_U$: 
  \begin{align}
    \Gamma =& \{(\alpha, A) \in \Lambda \times \sU \mid i(\alpha) \in A\} \nonumber \\
    j =& i \circ h \, \text{ og } \, h(\alpha, A) = \alpha \nonumber
  \end{align}
hvor $\Gamma$ er ordnet under omvendt inklusion på 2. koordinaten. Nu mangler vi at vise at $N_U$ er et universelt delnet af $N$. Lad først $\lambda \in \Lambda$, da findes et $A = \{i(\eta) \mid \eta \geq \lambda \} \in \sF \subseteq \sU$. Det giver at $(\mu, B) \geq (\lambda, A) \Rightarrow h(\mu) \geq \lambda$. Altså har vi nu at $N_U$ er et delnet af $N$. 

Lad $A \subseteq X$, da kan vi uden begrænsning antage at $A \in \sU$. Hvis der findes et $\lambda \in \Lambda : i(\lambda) \in A$ så vil $j(\mu,B) \in A$ for $(\mu, B) \geq (\lambda, A)$ eftersom $j(\mu,B) = i(\mu) \in B \subseteq A$. Men hvis vi antager at der ikke findes et $\lambda \in \Lambda$ så $i(\lambda) \in A$, da vil nettet ligge i $X \setminus A \in \sF \subseteq \sU$ hvilket giver en modstrid. Selvom nettet ikke er defineret som i vores konstruktion i \ref{defn:konsnet} så kan man genbruge beviset for sætning \ref{thm:netfiltre} og ser at vores konstruerede net og ultrafiltret $\sU$ har ens konvergensforhold.
\end{proof} 

\begin{cor}
 Ethvert net har et universelt delnet. \label{thm:uninet}
\end{cor}

\begin{proof}
  Hvis $N$ er et net, så findes et ultrafilter $\sU \supseteq \Phi(N)$ finere end $\Phi(N)$ pr. \ref{thm:ultrafilter}. Men da siger ovenstående sætning at $N_U$ vil være et universelt delnet af $N$. 
\end{proof}
\begin{rem}
  Bemærk at ovenstående korollar ikke er nemt at vise uden at gå igennem filtre. \cite{Pedersen} introducerer ikke filtre men ser sig alligevel nødsaget til i beviset for sætningen at bruge Zorns lemma på en familie af filtre. 
\end{rem}


